【物理】同種粒子の不可弁別性について

こんにちは。

今日は、統計力学や量子力学で、ボーズ・アインシュタイン粒子、フェルミ・ディラック粒子を導入する前によく出てくる、同種粒子の不可弁別性について、少し整理したいと思います。

不可弁別性という言葉ですが、簡単に言うと「見分けられない」ということです。

このことを考えていきたいですが、その前に見分けられるとはどういうことか考えてみましょう。

まずは、簡単な状況を設定しておきます。

ボールを考えてもらえればいいですが、全く同じものを２つ用意して、一方は右から、他方は左から飛んできて、ある時に衝突するという状況を考えましょう。

この時に右、及び左から来たボールがどっちへ行ったか見分けることができますよね。（見分けられるくらいのスピードで衝突したと考えてください。）

ここからが重要なことになりますが、この二つのボールを入れ替えても状況が全く変わらないことが分かります。二つのボールは全く同じなので、異なる運動にはなりません。

色のついたボールを考えるとわかりやすいかもしれません。赤のボールと青のボールを考えると、2つのボールを入れ替えた時に、さっきは赤のボールが右から飛んできたのに、今度は左から飛んできたとなります。これは違う運動だとみなすことにします。しかし、両方とも赤のボールならば、たとえ入れ替えても右からも左からも赤のボールが飛んでくるし、運動の状況は変わりません。

これが入れ替えた時に運動が変わる、変わらないという意味です。例えに習うと、今は色が同じボールの衝突を考えていることになります。

以上は古典的な状態に対応します。

同じようなことを量子力学に従う粒子で考えてみましょう。

先に重要なポイントを書いておきましょう。

同種粒子の区別がつかないということをいうために、重要なポイントが2つあります。

一つは、波動性です。量子力学では粒子が粒子的な性質と波動的な性質の両方を持ちます。

もう一つは、不確定性関係です。これは、粒子の位置と運動量を同時に決めることはできないということを言っています。

さて、粒子の衝突を考えたいですが、波動性を持つので、波の衝突を考えます。衝突した後の波は、衝突前のどちらの波だったかはわかりません。また、ここでも波を入れ替えた時に運動は変わらないということが言えます。

ただし、今回は古典的な場合と違って、衝突後のものが衝突前のどちらだったかわからないという問題があります。これは、言ってしまえば、粒子が追跡可能かどうかいうことです。古典的な場合は、直感通り追跡が可能ですよね。しかし、波が衝突前後でどちらがどっちへ行ったか分からないということは追跡が不可能だというわけです。さらに考えると、波束がとても短くて粒子の位置はよくわかると考えたしても、不確定性関係から運動量が無限大に近づいてしまいます。これはある瞬間にある場所にいた粒子は、次の瞬間どこへいくかわからないと言っています。これでは追跡不可能です。

(補足をすると、フェルミ粒子は同じ状態を占めることはできないので、波動関数の重ね合わせが一致するようなことすら本当ならばなくて、波が衝突して、そのあとに～みたいな話にはならないので、今まで話してきた例はあくまでイメージでしかない)

一番言いたいことは、同種粒子の不可弁別性に重要なことは、

粒子の波動性と不確定性関係にある

ということです。そして、見分けがつくつかないというのは、

言い換えると、まずは粒子を入れ替えた時に状態が変わらないということ、

これだけだと古典的な場合も見分けがつかないと言えてしまうが、

さらに言うと粒子が追跡可能かどうかが決め手になるということです。

そして、量子力学では実際に見分けがつかないので、面白い話に繋がっているというわけです。

以上で終わりますが、やはり説明するのって難しいと感じました。回りくどくなってしまった感じがしまい、申し訳ないです。

自分の頭の整理をするのか、どのレベルの人に説明するのかということをもう一度考えて、物理の記事を書くようにしたいと思います。

料理の練習 No.16 小松菜とベーコンのスープスパゲティ

こんにちは

今日は、スープスパゲティを作りました。

うまく作れたと思います！

簡単ではありますが、おいしく作れると気持ちいいですね～

スパゲティをゆでること自体は単純なので、どんな味付けにするかが重要になると思います。

今回は、牛乳をベースにしたまろやかな味付けにしました。

この味付けは僕に合うみたいでとても美味しかったです！

スパゲティの種類は豊富なので、一つずつ作れる種類を増やしていきたいですねー

写真

小松菜、ベーコン、シイタケが入ってます。

料理の練習 No.15 (ミネストローネ)グラタン

今日はミネストローネ風のグラタンを作ってみようと思ったのですが、

カットトマトがなかったので、コンソメスープ風グラタンみたいな感じになりました。

参考にしたレシピもあるのですが、だんだんとそのレシピのレールから外れ(;^_^

最終的には何とか食べられるようにはなったが．．．いう感じでした。

一番の問題点は、ケチャップをかけるタイミングが悪かったことです。。。

レンジを使う段階でチーズと一緒にケチャップもかければよかったのですが、

そのひとつ前のタイミングでかけてしまい、スープにケチャップが混ざってしまったので、次回は、スープに混ざらないように気を付けたいと思います。

そもそもスープが発生しないように気を付けるべきかもしれませんが、スープグラタン(グラタンスープ)なるものも存在するらしいので、うまい具合に作りたいものです。

もう一つ残念だったのは、電子レンジを使う時間が短かったことですね。チーズはいい感じにとろけていましたが、もう少ししっかり焼いたほうが良かったなと食べ終わってから思いました。

この二つが直せれば、そこそこ良くなる、もっと言えば、好みの問題は別にして、他人が普通に食べられるくらいにはなると思います。

次回がいつになるか分かりませんが、今回と同じグラタンにはリベンジします。

オーソドックスなマカロニグラタンも作ってみたいです。

写真

写真を見ると、ペンネがいくらか多かった気もしますね。グラタンぽく見えないあたりまだまだですな・・・

まあ最初はこんなもんでしょう

読書日記 ショートショートの広場３

こんにちは。

今回は読書日記です。

ショートショートといえば、真っ先に浮かぶのは星新一さんではないでしょうか？
僕は少し読んだことがあるくらいなのですが、不思議な世界観を描いているなという印象です。

この本は星新一さんが、ショートショートコンテストという企画の中で、優秀な作品を選んで収めたものです。応募するのは、一般の方なので、この本は素人の作品で成り立っているとも言えます。ここでいう素人は、あくまでプロと区別するための言葉としています。実際にはかなり玄人と言えるでしょうが．．．

全部で60以上の作品が収録されています。
いくつかはほのぼの系で、読後感がすっきりしていて個人的には大好きなタイプです。
印象的なラストを飾る作品が多く、予想がつくものもありますが、それでも印象に残るという意味では素晴らしい作品だなと思います。
いくつか気に入った作品を挙げると、「眠りの町」という作品はラストが面白いです。
「特設電話」もあぁ！というラストになっています。
「愛子より」のラストはすっきりしました。
「ためらわれる理由」もよくある展開かもしれませんがまとまりが良くて笑えます。
全体的に含みを持たせたような作品が多く、ほのぼの系が散らばっているという感じになっています。

まだショートショートの世界を堪能していない人がいれば、ぜひ読んでみてください。
一つの作品はすぐ読めるので、時間的にも精神的にも読み始めるハードルは高くないはずです。

【物理】古典統計と量子統計における同種粒子の取り扱い

こんにちは。

今までは物理の話題をほとんどしてきませんでしたが、セメスターも始まったことなので、これからは頭の整理も兼ねて少しずつ入れていこうと思います。

数式よりも言葉での説明がメインになると思います。

また、未熟なため間違っていることもあるかもしれません。

今日は、題名にもあるように統計力学における同種粒子の取り扱いです。

まずは古典統計

同種粒子は見分けがつかないのですが(同種粒子を入れ替えても全く同じ状態ということ)、いったん見分けがつくものとして勘定します。そのあとで、重複している分を考慮し修正します。こうした考え方をして作られたものが、修正MB統計です。

古典統計でも、この修正をしないとエントロピーの示量性が説明できないという不具合が生じます。

ここで問題点として、この修正はあくまでも応急処置であるということです。古典的に考えるならばよいのですが、量子的に考えた時にはうまくいきません。それもそのはずで、もともと同種粒子は区別できないのに、区別できると考えて、そのあとで区別できないことによる修正を加えるという、単純に考えれば（言葉は悪いかもしれませんが）ひねくれたことをしているからです。

きっと、同種粒子が区別できないことをはじめから考慮して組み立てていけば、量子的にも正しい結果が得られると期待できるでしょう。

そこで、何を考えるかというと、注目する対象を変えます。古典統計では、状態数を数えるのに粒子に注目していましたが、粒子が区別できないのでは粒子に注目していても状態数を数えることができません。

（古典統計では粒子が区別できると考えて場合の数を数えた）

そこで粒子に代わって、エネルギー準位に注目します。

エネルギー準位に何個の粒子が入っているのかを見るのです。こうすれば、各エネルギー準位に入っている粒子の個数で状態数を数えることができます。

まとめ

古典統計は粒子に注目している。

量子統計ではエネルギー準位に注目している。

以上、統計力学における同種粒子の基本的な（根本的な）考え方についてでした。