本と物理と戯れる

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8/14 量子力学 角運動量の導入

今日は量子力学角運動量の復習をしたので、頭の整理も兼ねて記事を書く。

 

量子力学での角運動量の導入の仕方を簡潔にまとめる。

 軌道角運動量の導入

位置ベクトルをr,運動量ベクトルをpとする。

軌道角運動量Lは、古典的な角運動量からの類推で以下のように定義する。

L=r×p

これを出発点にする。そこから、交換関係を求めたり、極座標表示を求めたりすることができる。

この後使うので、交換関係の式を書いておこう。iは虚数だ。

[L_x,L_y]=iL_z ,[L_y,L_z]=iL_x,[L_z,L_x]=iL_y

 

一般化された角運動量の導入

角運動量固有値問題を考える段階で、一般化された角運動量を考えることにする。

 

どういうことかというと、軌道角運動量は古典的な角運動量からの類推で考えたのだが、スピン角運動量は、古典に対応するものがないから、古典からの類推ができない。

そこで、一般化された角運動量を以下のように定義する。

[J_x,J_y]=iJ_z ,[J_y,J_z]=iJ_x,[J_z,J_x]=iJ_y

この関係を満たすものを角運動量と定義する。軌道角運動量の定義から導出された交換関係を使っている。(Lの部分をJに置き換えた)

これを出発点にしようというのが、一般化された角運動量である。

 

導入に関しては以上である。

 

一般化された角運動量固有値はゼロか正の整数、半整数をとる。対して軌道角運動量半整数の値は取らない。

そんな違いがあるが、今日は角運動量の導入に関する記事なので、また機会があれば続きを書こうと思う。