【物理】量子統計 状態密度について
こんにちは
今日は、状態密度とは何なのか、自分の言葉でまとめてみたいと思います。
定義は単純です。
一粒子エネルギーが微小なエネルギー幅の間にある一粒子状態の数
です。
当たり前のことなのかもしれませんが、状態の数であって、粒子の数ではないので注意が必要です。一つの状態にいくつの粒子が入りうるか、はまた別の話です。
数式で表すと、基底エネルギーを0とすると、一粒子エネルギーが０～εまでにある粒子の状態数をN(ε)とすると、（ここもNは状態数の数で粒子数ではないので注意！）
(N(ε)を積分状態密度ということもあるようです。)
D(ε) = (N(ε+dε) - N(ε)) / dε と書けます。
これは、微分の定義式と同じ形をしていますね。
イメージしやすいので3次元のエネルギー空間で（軸をεx,εy,εzとする空間を考えるということ）、半径εの球の内側に存在する一粒子状態数を考えてみましょう。
D(ε)というのは、エネルギーεを微小に変化させたときに、変化させる前と後で、球の内側に存在する一粒子状態の数がどれくらい変わったのかを表しているわけです。
D(ε)が大きいということは、状態が密に詰まっているというイメージができて、少しエネルギーが大きくなっただけで多くの新しい状態を取ることができるようになると考えられそうです。
逆にD(ε)が小さいということは、エネルギーを少し変化させたくらいでは新たに取りうる状態は少ないよと考えられます。
僕にとっては、粒子数を状態密度を使って表すのも、状態密度のイメージをつかむ良い例だと思います。むしろ、例どころか本質的な部分だと思いますが。
ややこしいかもしれませんが、粒子数をNとさせてください。積分状態密度はN(ε)と(ε)を付けます。ついていなかったら粒子数だと思ってください。
さて、粒子数がどのように書けるのかというと、
N=(ー∞から∞まで)∫D(ε)f(ε)dε
というふうに書けます。
f(ε)は分布関数で、言い換えると、エネルギーがεである平均粒子数とも言えます。
上の積分からD(ε)を外したものが何を表すかというと、エネルギーに縮退がない場合の粒子数を考えていることになります。
なぜなら、D(ε)を外して考えるということは、別の視点から考えると、D(ε)を1とした時の粒子数と言えるからです。D(ε)が1ということは、一つのエネルギーに一つの状態（だけ）が存在するということです。
しかし、縮退がある場合は一つのエネルギーに複数の状態が存在することになります。
そうすると、粒子の数を勘定するのにD(ε)も含めて積分する必要があります。
具体的に書くと、あるエネルギーで2重に縮退してる場合、そのエネルギーに存在する粒子数は、分布関数に状態密度を掛けた数になります。
もっと言うと、絶対温度でのFD粒子の場合、フェルミエネルギー(フェルミ縮退しているときの粒子がもつ最大のエネルギー、これを境に分布関数の値は０、１に分かれる)より内側の状態はすべて占有されていますが、エネルギーに2重の縮退があった場合には、そのエネルギーに存在する粒子は2倍になります。
（補足ですが、FD粒子では一つの状態には一つの粒子しか入れません）
この例では2重に縮退しているというのが状態密度に対応しているというわけです。
うまく説明できたかわかりませんが、理解できましたでしょうか？
後半をまとめると、粒子数を正しく勘定するには、分布関数と状態密度の関数を全エネルギーの範囲で積分する必要がある、ということです。
状態密度が何なのかをイメージするのに役立つ式だと思います。
まだまだ、まとめたいことがたくさんあるのですが、今日はこれまで。
次は、たぶんゾンマーフェルト展開を使って自由電子気体の計算をするときの考え方をまとめたいと思っています。
他の内容になる可能性もありますが、
【物理】スピン模型の整理
現在の僕にわかっている範囲で各スピン模型の特徴についてまとめる。
まず、スピンの向きに関する性質によって基本的な３つのモデルに分けられる。
Isingモデル
スピンが上を向くか、下を向くかの2つの値しかとらないようなモデル。
XYモデル
スピンの先が平面上を連続的に回転できるとするモデル。
ハイゼンベルクモデル
スピンの先が球面上を連続的に回転できるとするモデル。
上から順に、スピンの成分数が、１、２、３という風になっている。
成分数をn個に拡張したものを、nベクトルスピンモデルという。
主にIsingモデルを用いて、その中で様々なモデルを見ていく。
各モデルの特徴
1次元Isingモデル
厳密解が求まっている。有限温度での相転移は存在しない。
絶対零度でのみスピンの向きが揃うが、有限温度を持った途端にヘルムホルツの自由エネルギーの値を最小にするのに、エントロピーの効果のほうが大きく効くことからスピンの向きはバラバラになってしまう。
2次元Isingモデル
相互作用が最近接相互作用のみで、外部磁場0の場合のみ、厳密解が得られている。
有限温度で相転移を示し、転移温度以下では、自発磁化をもつ強磁性状態になる。
相転移点近傍で、自発磁化や比熱などに異常なふるまいがみられる。（発散など）
外部磁場が存在するときは厳密解が得られていない。
3次元Isingモデル
相転移あり
厳密解は得られていない。
無限レンジモデル
有限温度で相転移を示し、かつ厳密解が得られているモデル。
任意のスピンがほかのすべてのスピンと同じ強さで相互作用をすると考える。よって、次元という概念がなく、系の性質は、スピンの数で決まることになる。
現実の磁性体を忠実に再現しているわけではないが、とにかく厳密に解けるということが利点らしい。
転移温度以下になると、自発磁化が生じる。その根本的な理由は、自由エネルギーの最小値にある。転移温度以上では自発磁化が0の点で最小値を取る。転移温度以下では、自発磁化の値が0でないところで最小値を取る。したがって、自発磁化が生じる。
このモデルの相転移は高温側の磁化0の無秩序状態と、低温側の自発磁化を伴った強磁性状態の間で起こる。
相転移が起こるということで、転移温度付近では物理量に特徴的なふるまいがみられる。例えば、帯磁率は転移温度付近で鋭いピークを持つ。これは、転移温度というものをスピンが揃う直前の温度というふうに考えれば直感的に理解しやすい。
帯磁率は温度を少し変えたら磁化がどう変化しますか、ということを表しているので、転移温度付近では温度を少し変えただけで、スピンが揃ったり、ばらばらになったりしてしまう。言い換えると、温度に非常に敏感ということになる。
外部磁場を入れると、相転移は見られなくなるらしい。
平均場近似
厳密に解けるモデルは少ない。そこで近似を使うのだが平均場近似はよく使われる近似法の一つである。
Isingモデルを例にして考える。
さらに強磁性的な最近接相互作用のみが働くという条件で考える。ある場所のスピンは最近接にあるいくつかのスピンの状態と互いに作用しながら（例えばスピン反転のタイミングで相互作用に変化が生じるはず）、自らの状態も変化することになる。相互作用は揺らいでいるというような表現をする。
自分の言葉に直すと、一つ一つのスピンからの影響を別々に感じ取り、その場所ごとに受ける相互作用は異なってくるはずである。さらに言えば、時間的にも相互作用は変化するはずである。
具体的に言うと、ゆらぎを平均値をとってしまうわけだが、2次元正方格子を考えた時に、その周りには4つ最近接スピンがある。
↑
↓ ↑ ↓
↑
例えばこのような感じである。
同じ向きのとき相互作用の値を＋１
逆向きのときの相互作用の値を－１
とすると、真ん中のスピンは、2つとは+1の相互作用を、もう2つとは-1の相互作用をしている。しかし、平均を取ってしまうとこれは0になってしまう。つまり、4つのスピンとは等しく0の相互作用をしている(この例だと相互作用していない)と言える。
別の例を考える。
↓
↓ ↑ ↓
↑
この時は、-1の相互作用3つと、+1の相互作用1つである。
平均場近似で考えると,
真ん中のスピンは、4つのスピンと等しく-0.5の相互作用をしているというふうにみなしてしまう。こうすることで計算が簡単になり、何かしら近似結果が得られるのであろう。まだ、計算をがりがりやっていないのでこれから頑張って確かめないと・・・
それで、この平均場近似は面白いことに、無限レンジモデルの結果と同じ形として得られる。
何が同じかというと、言葉だけではわかりにくいかもしれないが、一応自分の頭の整理のために書く。
ハミルトニアンを考えてやって、そこから出てくるスピンの平均値と、その平均値がスピンあたりの磁化であるということから、磁化に関する方程式（自己無撞着な方程式というらしいが）が得られる。
この方程式の形が無限レンジモデルと同じだというのである。それはつまり、外部磁場0では相転移が起こり、・・・といった話ができるということだ。
なぜ、同じなのかを考えてみる。というか教科書の内容を咀嚼して、自分の言葉にしてみたい。
キーワードはスピン相関である。
スピン相関とは、ある場所のスピンの向きともう一方の場所のスピンの向きがどの程度揃っているのかを表しているものである。二つのスピン間の距離をパラメーターとしてみた時に、無限レンジモデルがスピン間の距離に関係しない相互作用だったことを思い出してみよう。それは、スピン相関が距離に依らないと言える。
一方で、最近接相互作用は有限距離内で作用するものだと考えられる。したがって、遠くのスピンとは影響しない。言い換えると、スピン相関はスピン間の距離に依存するのである。
まだぼんやりとしたイメージであるが、平均場近似では各最近接スピンとの相互作用を平均しているので、そしてその平均はすべて（2次元なら4つ）の最近接スピンで等しいとしている。範囲は有限であるが、相互作用している相手とは等しい強さで相互作用している。この特徴が無限レンジモデルと平均場近似では一致している。
こういった理由で、同じ形の方程式が出てくるのだろうと考えられるようだ。
これは興味深い結果だなと感じた。
長くなってしまったので、今日は以上。
料理の練習 No.19 ミネストローネ
こんにちは。
今日はミネストローネです。
これだけはうまく作れるようになりたいと以前書いた気がしますが、そのためミネストローネを作る機会も多くなることと思います。
さて、今日の出来は100点満点でいうと85点くらいでした！
なかなおいしく作れたんじゃないかと思います。
もっとおいしくするにはどうしたらいいか改良を重ねながら、おいしいミネストローネを目指して頑張ります。
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料理の練習 No.18 玉ねぎandきのこ入りチーズのおじや
少し間が空いてしまいました(^^;
これからはもっと間が空いてしまうことが増えるかもしれませんが、なんとか続けていきたいものですね～
さてさて、今日はおじやを作ってみました。
もともと今日は時間がないと分かっていたので、帰宅してすぐ作れるようなものを作ろうということで、材料もそれに合わせて買っておきました。
今日の料理は、材料を切れば、後は電子レンジでチンして完了という優れものです！
今日は、玉ねぎ、エリンギ、ベーコンにチーズを乗せました。栄養面に気を付ければ、もっといろんなバリエーションが考えられるでしょうし、かつそれが簡単に作れてしまう！
いや～、今日も新しい発見がありましたなぁ。
これから、寒くなってきますし、冬に合わせた料理というものを作ってみたいですね～
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料理の練習 No.17 レンコンのはさみ揚げ （残りでハンバーグもどき）
こんにちは。
台風が近づいてきており、近くの川の決壊におびえております。何事もなく台風が過ぎ去ってくれれば良いのですが・・・
また、選挙の結果が気になる日でもありますね。不在者投票という便利な制度があって本当に助かりました。これに限らず、国民が投票できる権利は、昔からの国民の努力によって少しずつ勝ち取ってきたものであると思うので、無駄にはしたくないですね。
さてさて、今日はレンコンのはさみ揚げを作ってみました。実家で母が作っていておいしかった印象が残っているので、ちょっと挑戦してみようかなと思いました。
量を間違えてお肉を必要な量の倍くらい用意してしまったので、どうしようか悩んだ挙句、ハンバーグっぽいものが作れそうだということで、ハンバーグっぽい何かを作りました（笑）鳥の股ひき肉でしたが、それはそれで、いい食感といい味を出していておいしかったです。自分の好みに合わせて中にチーズを入れました～
肝心のレンコンのはさみ揚げですが、初めて作ったということを考慮して、ぎりぎり合格ラインかなという感じです。レンコンにはさむお肉の量が多いと焼くときにお肉に火が通りにくく、レンコンの表面が焦げて中のお肉は生のままということになってしまいます。そこで、レンコンは食べ応えを残しつつ、できるだけ薄くできたらなと思いました。その辺の加減を身に付けたいです。ただ、ある程度焼いてさらに味付けもしたら、電子レンジを使うのも有効な手段だと思います。今回も急遽、電子レンジにお世話になりました（笑）そのほかにも、食べるときにお肉がはみ出て食べにくいという問題にも遭遇しました。食べやすさにも気を付けてお肉の量を調整したいです。
あと、レンコンがはがれてしまうという問題が発生しました。調べたところ、焼きのりで巻いて焼くとはがれないという素晴らしい記事を見つけました！次作るときはこれを試してみようと思います。
様々な問題はありつつも、味はデリシャスでした！レンコンの食感が非常に良いですね。お肉もジューシーで満足しました。
これらとは角度の違う問題ですが、一人分作ることってなかなかできないんですよね。おいしい状態で食べたいという気持ちから、ついつい多めの量を食べてしまうので、自制していかないといけないなと思いつつ、できないですね～
作り置きしておくのも味が落ちるのでなるべく作ったら早めに食べたいなぁと思うとなおさらです・・・
食べ過ぎてしまうならば、その代わりにしっかり運動しないとですね。
今のところ、一人暮らしを始めてからも体調を崩すことはほとんどないですが、これからは体調管理を意識していかないとどんどん体は弱っていくだけなので、食生活にも気を配りたいと思います。
写真です～
