ちょっとメモ
最近思うこと
自分自身について考えた時に、どうも僕は自分勝手な人間だなと思う。
媒体は何であれ人のために尽くしている人を見ると、どうしてそんなに相手を思いやることができるのだろうか、と考え込んでしまう。感銘を受けて、僕もそんな人間なりたいと思うのだが、結局のところ、自分のことで精いっぱいで相手のことを思いやるという所まで気が回らない。
程度の差こそあれ、人とかかわる中でそういう技術、または心を磨いてきたのだろう。意識して磨いた人もいるだろうし、そこまで意識せずとも、人に尽くすのが好きという性格の人もいるのかもしれない。
いずれにしても、僕はこれから意識して相手の気持ちを考えて行動しようとしなければ、相手を思いやって行動に移すということはできないように思う。
ではどうしたらいいのか？
まず一つ、自分がされて嬉しいこと、ありがたいと思うことはきっと相手も同じような気持ちのはずだ、というようなことを聞いたことがある。これは、時と場合、そして相手によるので一概に正しいとは言えないし、自分の感覚が果たしてその相手と合っているかは本音を言えば(まったく！)わからない。それでも時と場合により、ある程度は判断材料になるはずだ。
また、思い切ってあれこれやってみるのも一つの方法だと思う。やはり、実践して失敗を繰り返すことで得られるものは大きい。ただし、その過程で何かを得ようとしなければ意味はない。また、失敗することありきで書いているが、これは相手に迷惑をかけることもあるということだ。まったく迷惑を掛けない人間などいないだろうし、そこまで気にすることではないのかもしれない。しかし、僕は気が小さい故、友人（それも数人しかいないのだが）を失うのが怖いという気持ちから何か自分から仕掛けていこうという気になれない。もしかしたら、そういう気になることもあるけれど実際に行動に移すことはほぼ全くない。友人どころか、今後かかわらないであろう他人にさえ、もし嫌がられたらと考えると自分から発信していくようなことはなかなかできない。
ここまで書いてようやく気付いた。思い切ってあれこれやると書いたが、そもそも何をすれば相手を思いやるということになるのだろうか？実際に行動したことがないせいか、具体的な行動が浮かんでこない。
まとまりのない文章ではあるが、どうせメモなので思ったことを書いていく。
僕が自分勝手だと思う理由を今から書く。
それは、相手を思いやることについて考えると、ふと頭に浮かぶのが、自分が成長した姿を見せることができれば、それは相手に感謝したことにつながるのではないか？ということだ。そのあとで、それじゃあ結局自分に都合がいいようにしか考えていないなぁ、と落ち込むのである。
最後に、とりあえず考えているうちに僕がやらなければいけないと思ったことを最後に書いて終わりにする。
せめて、僕の（数少ない）友人でいてくれる人、お世話になっている人、僕を支えてくれている人にだけは感謝の気持ちを忘れずに、また何か（これは具体的に考えなければいけないが）その人を思いやって行動するように愚直に取り組む。
そのためには自分が何か失敗してしまうことも厭わないという気持ちを持たなければいけないな。時には、失敗から友人でなくなることもあろうが、それも厭わない覚悟がないと僕には相手を思いやることはできなそうだ。
結局のところ、失敗して何かを失うことが嫌なだけかもしれない。失敗から学ぶことが大切であるにも関わらず。
明日統計力学演習のテストがあってこんなこと書いている場合ではないのだが．．．
【物理】量子統計 状態密度について
こんにちは
今日は、状態密度とは何なのか、自分の言葉でまとめてみたいと思います。
定義は単純です。
一粒子エネルギーが微小なエネルギー幅の間にある一粒子状態の数
です。
当たり前のことなのかもしれませんが、状態の数であって、粒子の数ではないので注意が必要です。一つの状態にいくつの粒子が入りうるか、はまた別の話です。
数式で表すと、基底エネルギーを0とすると、一粒子エネルギーが０～εまでにある粒子の状態数をN(ε)とすると、（ここもNは状態数の数で粒子数ではないので注意！）
(N(ε)を積分状態密度ということもあるようです。)
D(ε) = (N(ε+dε) - N(ε)) / dε と書けます。
これは、微分の定義式と同じ形をしていますね。
イメージしやすいので3次元のエネルギー空間で（軸をεx,εy,εzとする空間を考えるということ）、半径εの球の内側に存在する一粒子状態数を考えてみましょう。
D(ε)というのは、エネルギーεを微小に変化させたときに、変化させる前と後で、球の内側に存在する一粒子状態の数がどれくらい変わったのかを表しているわけです。
D(ε)が大きいということは、状態が密に詰まっているというイメージができて、少しエネルギーが大きくなっただけで多くの新しい状態を取ることができるようになると考えられそうです。
逆にD(ε)が小さいということは、エネルギーを少し変化させたくらいでは新たに取りうる状態は少ないよと考えられます。
僕にとっては、粒子数を状態密度を使って表すのも、状態密度のイメージをつかむ良い例だと思います。むしろ、例どころか本質的な部分だと思いますが。
ややこしいかもしれませんが、粒子数をNとさせてください。積分状態密度はN(ε)と(ε)を付けます。ついていなかったら粒子数だと思ってください。
さて、粒子数がどのように書けるのかというと、
N=(ー∞から∞まで)∫D(ε)f(ε)dε
というふうに書けます。
f(ε)は分布関数で、言い換えると、エネルギーがεである平均粒子数とも言えます。
上の積分からD(ε)を外したものが何を表すかというと、エネルギーに縮退がない場合の粒子数を考えていることになります。
なぜなら、D(ε)を外して考えるということは、別の視点から考えると、D(ε)を1とした時の粒子数と言えるからです。D(ε)が1ということは、一つのエネルギーに一つの状態（だけ）が存在するということです。
しかし、縮退がある場合は一つのエネルギーに複数の状態が存在することになります。
そうすると、粒子の数を勘定するのにD(ε)も含めて積分する必要があります。
具体的に書くと、あるエネルギーで2重に縮退してる場合、そのエネルギーに存在する粒子数は、分布関数に状態密度を掛けた数になります。
もっと言うと、絶対温度でのFD粒子の場合、フェルミエネルギー(フェルミ縮退しているときの粒子がもつ最大のエネルギー、これを境に分布関数の値は０、１に分かれる)より内側の状態はすべて占有されていますが、エネルギーに2重の縮退があった場合には、そのエネルギーに存在する粒子は2倍になります。
（補足ですが、FD粒子では一つの状態には一つの粒子しか入れません）
この例では2重に縮退しているというのが状態密度に対応しているというわけです。
うまく説明できたかわかりませんが、理解できましたでしょうか？
後半をまとめると、粒子数を正しく勘定するには、分布関数と状態密度の関数を全エネルギーの範囲で積分する必要がある、ということです。
状態密度が何なのかをイメージするのに役立つ式だと思います。
まだまだ、まとめたいことがたくさんあるのですが、今日はこれまで。
次は、たぶんゾンマーフェルト展開を使って自由電子気体の計算をするときの考え方をまとめたいと思っています。
他の内容になる可能性もありますが、
【物理】スピン模型の整理
現在の僕にわかっている範囲で各スピン模型の特徴についてまとめる。
まず、スピンの向きに関する性質によって基本的な３つのモデルに分けられる。
Isingモデル
スピンが上を向くか、下を向くかの2つの値しかとらないようなモデル。
XYモデル
スピンの先が平面上を連続的に回転できるとするモデル。
ハイゼンベルクモデル
スピンの先が球面上を連続的に回転できるとするモデル。
上から順に、スピンの成分数が、１、２、３という風になっている。
成分数をn個に拡張したものを、nベクトルスピンモデルという。
主にIsingモデルを用いて、その中で様々なモデルを見ていく。
各モデルの特徴
1次元Isingモデル
厳密解が求まっている。有限温度での相転移は存在しない。
絶対零度でのみスピンの向きが揃うが、有限温度を持った途端にヘルムホルツの自由エネルギーの値を最小にするのに、エントロピーの効果のほうが大きく効くことからスピンの向きはバラバラになってしまう。
2次元Isingモデル
相互作用が最近接相互作用のみで、外部磁場0の場合のみ、厳密解が得られている。
有限温度で相転移を示し、転移温度以下では、自発磁化をもつ強磁性状態になる。
相転移点近傍で、自発磁化や比熱などに異常なふるまいがみられる。（発散など）
外部磁場が存在するときは厳密解が得られていない。
3次元Isingモデル
相転移あり
厳密解は得られていない。
無限レンジモデル
有限温度で相転移を示し、かつ厳密解が得られているモデル。
任意のスピンがほかのすべてのスピンと同じ強さで相互作用をすると考える。よって、次元という概念がなく、系の性質は、スピンの数で決まることになる。
現実の磁性体を忠実に再現しているわけではないが、とにかく厳密に解けるということが利点らしい。
転移温度以下になると、自発磁化が生じる。その根本的な理由は、自由エネルギーの最小値にある。転移温度以上では自発磁化が0の点で最小値を取る。転移温度以下では、自発磁化の値が0でないところで最小値を取る。したがって、自発磁化が生じる。
このモデルの相転移は高温側の磁化0の無秩序状態と、低温側の自発磁化を伴った強磁性状態の間で起こる。
相転移が起こるということで、転移温度付近では物理量に特徴的なふるまいがみられる。例えば、帯磁率は転移温度付近で鋭いピークを持つ。これは、転移温度というものをスピンが揃う直前の温度というふうに考えれば直感的に理解しやすい。
帯磁率は温度を少し変えたら磁化がどう変化しますか、ということを表しているので、転移温度付近では温度を少し変えただけで、スピンが揃ったり、ばらばらになったりしてしまう。言い換えると、温度に非常に敏感ということになる。
外部磁場を入れると、相転移は見られなくなるらしい。
平均場近似
厳密に解けるモデルは少ない。そこで近似を使うのだが平均場近似はよく使われる近似法の一つである。
Isingモデルを例にして考える。
さらに強磁性的な最近接相互作用のみが働くという条件で考える。ある場所のスピンは最近接にあるいくつかのスピンの状態と互いに作用しながら（例えばスピン反転のタイミングで相互作用に変化が生じるはず）、自らの状態も変化することになる。相互作用は揺らいでいるというような表現をする。
自分の言葉に直すと、一つ一つのスピンからの影響を別々に感じ取り、その場所ごとに受ける相互作用は異なってくるはずである。さらに言えば、時間的にも相互作用は変化するはずである。
具体的に言うと、ゆらぎを平均値をとってしまうわけだが、2次元正方格子を考えた時に、その周りには4つ最近接スピンがある。
↑
↓ ↑ ↓
↑
例えばこのような感じである。
同じ向きのとき相互作用の値を＋１
逆向きのときの相互作用の値を－１
とすると、真ん中のスピンは、2つとは+1の相互作用を、もう2つとは-1の相互作用をしている。しかし、平均を取ってしまうとこれは0になってしまう。つまり、4つのスピンとは等しく0の相互作用をしている(この例だと相互作用していない)と言える。
別の例を考える。
↓
↓ ↑ ↓
↑
この時は、-1の相互作用3つと、+1の相互作用1つである。
平均場近似で考えると,
真ん中のスピンは、4つのスピンと等しく-0.5の相互作用をしているというふうにみなしてしまう。こうすることで計算が簡単になり、何かしら近似結果が得られるのであろう。まだ、計算をがりがりやっていないのでこれから頑張って確かめないと・・・
それで、この平均場近似は面白いことに、無限レンジモデルの結果と同じ形として得られる。
何が同じかというと、言葉だけではわかりにくいかもしれないが、一応自分の頭の整理のために書く。
ハミルトニアンを考えてやって、そこから出てくるスピンの平均値と、その平均値がスピンあたりの磁化であるということから、磁化に関する方程式（自己無撞着な方程式というらしいが）が得られる。
この方程式の形が無限レンジモデルと同じだというのである。それはつまり、外部磁場0では相転移が起こり、・・・といった話ができるということだ。
なぜ、同じなのかを考えてみる。というか教科書の内容を咀嚼して、自分の言葉にしてみたい。
キーワードはスピン相関である。
スピン相関とは、ある場所のスピンの向きともう一方の場所のスピンの向きがどの程度揃っているのかを表しているものである。二つのスピン間の距離をパラメーターとしてみた時に、無限レンジモデルがスピン間の距離に関係しない相互作用だったことを思い出してみよう。それは、スピン相関が距離に依らないと言える。
一方で、最近接相互作用は有限距離内で作用するものだと考えられる。したがって、遠くのスピンとは影響しない。言い換えると、スピン相関はスピン間の距離に依存するのである。
まだぼんやりとしたイメージであるが、平均場近似では各最近接スピンとの相互作用を平均しているので、そしてその平均はすべて（2次元なら4つ）の最近接スピンで等しいとしている。範囲は有限であるが、相互作用している相手とは等しい強さで相互作用している。この特徴が無限レンジモデルと平均場近似では一致している。
こういった理由で、同じ形の方程式が出てくるのだろうと考えられるようだ。
これは興味深い結果だなと感じた。
長くなってしまったので、今日は以上。
料理の練習 No.19 ミネストローネ
こんにちは。
今日はミネストローネです。
これだけはうまく作れるようになりたいと以前書いた気がしますが、そのためミネストローネを作る機会も多くなることと思います。
さて、今日の出来は100点満点でいうと85点くらいでした！
なかなおいしく作れたんじゃないかと思います。
もっとおいしくするにはどうしたらいいか改良を重ねながら、おいしいミネストローネを目指して頑張ります。
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料理の練習 No.18 玉ねぎandきのこ入りチーズのおじや
少し間が空いてしまいました(^^;
これからはもっと間が空いてしまうことが増えるかもしれませんが、なんとか続けていきたいものですね～
さてさて、今日はおじやを作ってみました。
もともと今日は時間がないと分かっていたので、帰宅してすぐ作れるようなものを作ろうということで、材料もそれに合わせて買っておきました。
今日の料理は、材料を切れば、後は電子レンジでチンして完了という優れものです！
今日は、玉ねぎ、エリンギ、ベーコンにチーズを乗せました。栄養面に気を付ければ、もっといろんなバリエーションが考えられるでしょうし、かつそれが簡単に作れてしまう！
いや～、今日も新しい発見がありましたなぁ。
これから、寒くなってきますし、冬に合わせた料理というものを作ってみたいですね～
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